¿Qué es la consonancia?

En la nota anterior, descubrimos cómo funciona el sonido. Repitamos esta fórmula:

SONIDO = TONO DE BASE + TODOS LOS SOBRETONOS MÚLTIPLES

Además, mientras los japoneses admiran las flores de cerezo, nosotros también admiraremos el gráfico de respuesta de frecuencia, la característica de amplitud-frecuencia del sonido (Fig. 1):

Recuerde que el eje horizontal representa el tono (frecuencia de oscilación) y el eje vertical representa el volumen (amplitud).

Cada línea vertical es un armónico, el primer armónico suele llamarse fundamental. Los armónicos se organizan de la siguiente manera: el segundo armónico es 2 veces más alto que el tono fundamental, el tercero es tres, el cuarto es cuatro, y así sucesivamente.

En aras de la brevedad, en lugar de "frecuencia narmónico” diremos simplemente “narmónico”, y en lugar de “frecuencia fundamental” – “frecuencia de sonido”.

Entonces, mirando la respuesta de frecuencia, no será difícil para nosotros responder la pregunta, ¿qué es la consonancia?

¿Cómo contar hasta el infinito?

Consonancia significa literalmente "cosonido", sonido conjunto. ¿Cómo pueden sonar dos sonidos diferentes juntos?

Dibujémoslos en el mismo gráfico uno debajo del otro (Fig. 2):

Aquí está la respuesta: algunos de los armónicos pueden coincidir en frecuencia. Es lógico suponer que cuantas más frecuencias coinciden, más sonidos "comunes" tienen y, en consecuencia, más consonancia en el sonido de dicho intervalo. Para ser completamente precisos, es importante no solo el número de armónicos coincidentes, sino qué proporción de todos los armónicos coincidentes, es decir, la relación entre el número de coincidencias y el número total de armónicos sonoros.

Obtenemos la fórmula más simple para calcular la consonancia:

donde N_sovp es el número de armónicos coincidentes,  N_común es el número total de armónicos de sonido (el número de diferentes frecuencias de sonido), y cons y es nuestra consonancia deseada. Para ser matemáticamente correcto, es mejor llamar a la cantidad una medida de consonancia de frecuencia.

Bueno, el asunto es pequeño: necesitas calcular N_sovp и N_común, divida uno por el otro y obtenga el resultado deseado.

El único problema es que tanto el número total de armónicos como el número de armónicos coincidentes es infinito.

¿Qué pasa si dividimos infinito por infinito?

Cambiemos la escala del gráfico anterior, "alejarnos" de él (Fig. 3)

Vemos que los armónicos coincidentes ocurren una y otra vez. La imagen se repite (Fig. 4).

Esta repetición nos ayudará.

Basta con que calculemos la razón (1) en uno de los rectángulos punteados (por ejemplo, en el primero), luego, por repeticiones y en toda la línea, esta razón seguirá siendo la misma.

Para simplificar, la frecuencia del tono fundamental del primer sonido (inferior) se considerará igual a la unidad, y la frecuencia del tono fundamental del segundo sonido se escribirá como una fracción irreducible  .

Notemos entre paréntesis que en los sistemas musicales, por regla general, se utilizan precisamente los sonidos, cuya proporción de frecuencias se expresa en alguna fracción.  . Por ejemplo, el intervalo de una quinta es la razón  , cuartos -  , tritón -   etc.

Calculemos la razón (1) dentro del primer rectángulo (Fig. 4).

Es bastante fácil contar el número de armónicos coincidentes. Formalmente, hay dos de ellos, uno pertenece al sonido inferior, el segundo, al superior, en la Fig. 4 están marcados en rojo. Pero ambos armónicos suenan a la misma frecuencia, respectivamente, si contamos el número de frecuencias coincidentes, entonces solo habrá una de esas frecuencias.

¿Cuál es el número total de frecuencias de sonido?

Discutamos así.

Todos los armónicos del sonido inferior están ordenados en números enteros (1, 2, 3, etc.). En cuanto algún armónico del sonido superior sea un número entero, coincidirá con uno de los armónicos del inferior. Todos los armónicos del sonido superior son múltiplos del tono fundamental , entonces la frecuencia n-th armónico será igual a:

es decir, será un número entero (ya que m es un número entero). Esto significa que el sonido superior en el rectángulo tiene armónicos desde el primero (tono fundamental) hasta n-oh, por lo tanto, sonido n frecuencias.

Dado que todos los armónicos del sonido inferior están ubicados en números enteros, y de acuerdo con (3), la primera coincidencia ocurre en la frecuencia m, resulta que el sonido más bajo dentro del rectángulo dará m frecuencias de sonido.

Cabe señalar que la frecuencia coincidente m nuevamente contamos dos veces: cuando contamos las frecuencias del sonido superior y cuando contamos las frecuencias del sonido inferior. Pero, de hecho, la frecuencia es uno, y para la respuesta correcta, necesitaremos restar una frecuencia "extra".

El total de todas las frecuencias de sonido dentro del rectángulo será:

Sustituyendo (2) y (4) en la fórmula (1), obtenemos una expresión simple para calcular la consonancia:

Para enfatizar la consonancia de los sonidos que calculamos, puede indicar estos sonidos entre paréntesis cons:

Usando una fórmula tan simple, puede calcular la consonancia de cualquier intervalo.

Y ahora consideremos algunas propiedades de la consonancia de frecuencia y ejemplos de su cálculo.

Propiedades y ejemplos

Primero, calculemos las consonancias para los intervalos más simples y asegurémonos de que la fórmula (6) “funciona”.

¿Qué intervalo es el más simple?

Definitivamente prima. Dos notas suenan al unísono. En un gráfico se verá así:

Vemos que absolutamente todas las frecuencias de sonido coinciden. Por lo tanto, la consonancia debe ser igual a:

Ahora sustituyamos la proporción por el unísono.  en la fórmula (6), obtenemos:

El cálculo coincide con la respuesta “intuitiva”, que es de esperar.

Tomemos otro ejemplo en el que la respuesta intuitiva es igual de obvia: la octava.

En una octava, el sonido superior es 2 veces más alto que el inferior (según la frecuencia del tono fundamental), respectivamente, en el gráfico se verá así:

Se puede ver en el gráfico que cada segundo armónico coincide, y la respuesta intuitiva es: la consonancia es 50%.

Calculémoslo por la fórmula (6):

Y nuevamente, el valor calculado es igual al "intuitivo".

Si tomamos la nota como el sonido más bajo a y trace el valor de consonancia para todos los intervalos dentro de la octava en el gráfico (intervalos simples), obtenemos la siguiente imagen:

Las medidas más altas de consonancia están en la octava, quinta y cuarta. Históricamente se referían a consonancias “perfectas”. Las terceras menores y mayores, y las sextas menores y mayores son ligeramente inferiores, estos intervalos se consideran consonancias “imperfectas”. El resto de los intervalos tienen un menor grado de consonancia, tradicionalmente pertenecen al grupo de las disonancias.

Ahora enumeramos algunas propiedades de la medida de frecuencia consonante, que provienen de la fórmula para su cálculo:

1. Cuanto más compleja sea la relación  (cuanto más número m и n), menos consonante es el intervalo.

И m и n en la fórmula (6) están en el denominador, por lo tanto, a medida que estos números aumentan, la medida de la consonancia disminuye.

2. La consonancia ascendente del intervalo es igual a la consonante descendente del intervalo.

Para obtener un intervalo hacia abajo en lugar de un intervalo hacia arriba, necesitamos en la proporción   intercambio m и n. Pero en la fórmula (6), absolutamente nada cambiará con tal reemplazo.

3. La medida de la consonancia de frecuencia de un intervalo no depende de la nota a partir de la cual lo estemos construyendo.

Si cambia ambas notas en el mismo intervalo hacia arriba o hacia abajo (por ejemplo, construye una quinta no a partir de una nota a, pero de la nota Re), entonces la relación  entre notas no cambiará y, en consecuencia, la medida de consonancia de frecuencia seguirá siendo la misma.

Podríamos dar otras propiedades de la consonancia, pero por ahora nos limitaremos a estas.

Física y letras

La figura 7 nos da una idea de cómo funciona la consonancia. Pero, ¿es así como percibimos realmente la consonancia de los intervalos? ¿Hay personas a las que no les gustan las consonancias perfectas, pero las armonías más disonantes les parecen agradables?

Sí, esas personas ciertamente existen. Y para explicar esto conviene distinguir dos conceptos: consonancia física и consonancia percibida.

Todo lo que hemos considerado en este artículo tiene que ver con la consonancia física. Para calcularlo, necesita saber cómo funciona el sonido y cómo se suman las diferentes vibraciones. La consonancia física proporciona los requisitos previos para la consonancia percibida, pero no la determina al 100%.

La consonancia percibida se determina de forma muy sencilla. Se le pregunta a una persona si le gusta esta consonancia. Si es así, entonces para él es consonancia; si no, es disonancia. Si se le dan dos intervalos para comparar, entonces podemos decir que uno de ellos le parecerá a la persona en este momento más consonante, el otro menos.

¿Se puede calcular la consonancia percibida? Incluso si asumimos que es posible, entonces este cálculo será catastróficamente complicado, incluirá un infinito más: el infinito de una persona: su experiencia, características auditivas y habilidades cerebrales. Este infinito no es tan fácil de manejar.

Sin embargo, la investigación en esta área está en curso. En particular, el compositor Ivan Soshinsky, quien amablemente proporciona materiales de audio para estas notas, ha desarrollado un programa con el que se puede construir un mapa individual de percepción de consonancias para cada persona. Actualmente se está desarrollando el sitio mu-theory.info, donde cualquier persona puede hacerse la prueba y conocer las características de su audición.

Y sin embargo, si hay una consonancia percibida, y difiere de la física, ¿de qué sirve calcular esta última? Podemos reformular esta pregunta de una manera más constructiva: ¿cómo se relacionan estos dos conceptos?

Los estudios muestran que la correlación entre la consonancia percibida promedio y la consonancia física es del orden del 80%. Esto significa que cada persona puede tener sus propias características individuales, pero la física del sonido hace una contribución abrumadora a la definición de consonancia.

Por supuesto, la investigación científica en esta área aún está en sus comienzos. Y como estructura de sonido, tomamos un modelo relativamente simple de múltiples armónicos, y el cálculo de la consonancia se usó en la frecuencia más simple, y no tuvo en cuenta las peculiaridades de la actividad del cerebro al procesar la señal de sonido. Pero el hecho de que incluso dentro del marco de tales simplificaciones se haya obtenido un grado muy alto de correlación entre la teoría y el experimento es muy alentador y estimula futuras investigaciones.

La aplicación del método científico en el campo de la armonía musical no se limita al cálculo de la consonancia, también arroja resultados más interesantes.

Por ejemplo, con la ayuda del método científico, la armonía musical se puede representar gráficamente, visualizar. Hablaremos sobre cómo hacer esto la próxima vez.

Autor – Roman Oleinikov